大國院士 第一百八十五章證明霍奇猜想

和德利涅請了個假后，徐川起身走出了宿舍。

在正式進(jìn)入霍奇猜想這個未知的領(lǐng)域前，他還有很多工作要做。無論是生活上的，還是數(shù)學(xué)上的。

解決霍奇猜想，就像是人類第一次航行于茫茫大海一樣，誰也不知道在未知的海洋中是否還有其他的陸地，誰也不知道是否能順利抵達(dá)另一處海岸線。

他唯一擁有的，就是一條剛剛打造出來的小船。

而這條小船，在進(jìn)入未知的海洋后，是否會被風(fēng)浪掀翻，是否會沉入海底，是否會觸礁卡住無法動彈，徐川也不知道。

但盡管如此，他依舊要去嘗試。

因?yàn)槟呐率莾H僅只航行出去十米，那也是偉大的突破。

在商店中采購了一批生活物資后，徐川又從燧石圖書館中借閱了一批有關(guān)霍奇猜想的手稿與資料。

有一部分是他之前看過的，還有一部分則是尚未翻閱的。

這些都是前人留下的珍貴知識，而且有一些在網(wǎng)絡(luò)上根本就搜不到。因?yàn)樗鼈冎皇悄硞€數(shù)學(xué)家的一些想法和原理論，并未成型。

這些東西，不管看沒看過，對于他向霍奇猜想發(fā)起沖鋒都很有用。

不過在借閱這些東西的時候，他遇到了個不小的麻煩。

管理燧石圖書館的是一個看起來不修邊幅的糟老頭子，這個頭發(fā)亂糟糟像個鳥窩的糟老頭是紙質(zhì)資料領(lǐng)域保存的頂級專家，但也異常的固執(zhí)。

而這個固執(zhí)的老頭始終不愿意對外借出這么多文獻(xiàn)，認(rèn)為他很有可能損壞或者遺失這些珍貴的稿紙。

為了獲得這批資料，徐川在燧石圖書館磨了一天，最終的努力也不過是讓對方同意將其放到一起在圖書館中翻閱而已。

但對于徐川而言，在圖書館中證明霍奇猜想是條并不怎么靠譜的路。

這里雖然很安靜，但每天都人來人往的。

沒辦法，最終他只能找到普林斯頓數(shù)學(xué)院的院長戴維·修，作出了一系列的保證，并學(xué)習(xí)了紙質(zhì)資料的一些保存方法，甚至簽下了一份保證書，才勉強(qiáng)讓對方同意。

帶著繁多的資料，徐川重新回到宿舍中。

其實(shí)不用那個來自日耳曼的糟老頭提醒，他也會好好的保護(hù)好這些東西的。

不過現(xiàn)在，除了好好的保存外，對于這些資料而言，更大的價值是在霍奇猜想上發(fā)揮出自己的作用。

想必當(dāng)初創(chuàng)造出這些知識的數(shù)學(xué)家肯定也是這樣想的。

對于一名學(xué)者來說，沒人愿意看到自己創(chuàng)造出來的知識被束之高閣，如果一項(xiàng)知識不能流傳被運(yùn)用，對于知識而言，它沒有任何的價值。

處理好進(jìn)入霍奇猜想前的準(zhǔn)備，徐川再度將自己鎖在了宿舍中。

時間就這樣的流逝著，眨眼間，十月金秋到來，洛克菲勒住宿學(xué)院外的糖槭、梧桐等樹木開始泛起一絲金黃。偶爾有幾片落葉隨風(fēng)緩緩飄落。

三零六號宿舍中，一道人影站在窗前，望向外面的掛滿了懸鈴果實(shí)的懸鈴木。

清晨的日出在墨藍(lán)色的云霞里透亮，窗外金黃色和深綠色的樹葉交織在一起，沉甸甸的懸鈴果鑲嵌其中。

望著窗外的風(fēng)景，徐川臉上掛著笑容。

秋季，是豐收的季節(jié)。

盡管針對霍奇猜想的研究并非如他預(yù)想中的那般一帆風(fēng)順，但對于最終的結(jié)果，他始終充滿了信心。

而兩個月的時間過去，在霍奇猜想這片未知的海洋中，他終于找到了一片出現(xiàn)在眼前的海岸線。

那是新大陸！

望著窗外的風(fēng)景，徐川面帶笑容的轉(zhuǎn)身回到了桌前。

盡管霍奇猜想還未完美的解決，但他已經(jīng)看到了那條海岸相交的地平線，看到了那座聳立在天際的新大陸。

剩下的，就是努力的將自己的小船劃過去了。

拾起桌上的圓珠筆，徐川在此前未寫完地方提筆繼續(xù)：

“.設(shè)v是復(fù)射影空間中的一個代數(shù)簇，vˊ是v的正則點(diǎn)組成的集合。vˊ上相對于fubinistudy度量的l2derham上同調(diào)群與v的交叉上同調(diào)群是同構(gòu)的”

“若y是x的定義在k上余維數(shù)為j的閉子代數(shù)簇，我們有標(biāo)準(zhǔn)映射：tr:h2→q`.這里是q`。

這個映射與限制映射：h2→h2”

“根據(jù)poincar′e對偶定理：hom，q`)～h2j.“

時間一點(diǎn)一點(diǎn)的在他的筆下流逝，徐川全神貫注的將自己投入到了最后的突破上。

最終，他手中的筆鋒驀然一轉(zhuǎn)。

“基于映射tr、限制映射和poincar′e，對偶定理都與gal的作用相容，所以gal在y定義的上同調(diào)類上的作用也平凡。則aj是h2j中由x的余維數(shù)為j的定義在k上的閉子代數(shù)簇的上同調(diào)類生成的q向量空間”

“當(dāng)i≤n/2時，ainker上的二次型x→ilr2i是正定的。“

“由此，可得，在非奇異復(fù)射影代數(shù)簇上，任一霍奇類均是代數(shù)閉鏈類的有理線性組合?！?p/> “即，霍奇猜想成立！”

手中圓珠筆在潔白的稿紙上點(diǎn)下最后一個圓點(diǎn)，徐川長舒了一口氣，將手中的圓珠筆丟到了一旁，身子往后一躺，靠在了椅背上盯著天花板愣愣的發(fā)呆。

當(dāng)最后一個字符在稿紙上落下的時候，他心里涌出的并不是興奮，不是高興，也不是滿足感和成就感。

而是帶著一些不可置信的迷茫。

耗去長達(dá)四個多月的時間，從米爾扎哈尼教授遺留給他的手稿開始，到‘微分代數(shù)簇的不可縮分解’問題的解決，再到代數(shù)簇與群映射工具的完善，到最后的霍奇猜想的解決。

在這條路上，他經(jīng)歷了太多。

盯著天花板良久，徐川終于回過神來，目光落在了身前書桌上的稿紙上。

將所有的稿紙完整的過了一遍，確定這真的是自己的做出來的成果后，他臉上終于露出了璀璨的笑容，明朗如窗外透進(jìn)來的陽光。

如果沒有意外的話，他，成功了。

成功解決掉了霍奇猜想這個世紀(jì)難題。

這是自1924年數(shù)學(xué)家來夫謝茨對于類的霍奇猜想證明后，和霍奇猜想相關(guān)的問題最重要的突破。

盡管他現(xiàn)在還不知道它是否能經(jīng)得起其他數(shù)學(xué)家和時間的考驗(yàn)。

但無論如何，他在數(shù)學(xué)上再次踏出了一大步。

完成證明霍奇猜想的論文之后，徐川又花費(fèi)了一些時間，將稿紙上的這些東西再度過了一遍，并完善了一些其他的細(xì)節(jié)。

處理完成這些后，他開始動手將其整理到筆記本中。

而后準(zhǔn)備公開。

對于任何一個數(shù)學(xué)猜想的證明來說，證明者是沒有資格給予它是否正確的評價的。

唯有全面公開，且經(jīng)歷同行評審與時間的考驗(yàn)，才能確定它是否真的已經(jīng)成功。

花費(fèi)了整整一周的時間，徐川總算是將手中近百頁的稿紙全部輸入了電腦中。

這上百頁的證明，其中有超過三分之一以上的篇幅，是針對解決霍奇猜想的代數(shù)簇與群映射工具的解釋與論證，還有三分之一的篇幅，是針對霍奇猜想與代數(shù)簇與群映射工具搭建的理論框架。

剩下的，才是霍奇猜想的證明過程。

對于這篇論文而言，工具與框架，才是它的核心基礎(chǔ)。

如果他愿意，完全可以將工具和理論框架單獨(dú)拆分出來作為獨(dú)立的論文進(jìn)行發(fā)表。

就如同彼得·舒爾茨的‘p進(jìn)類完美空間理論’一樣。

這些東西，如果最終被數(shù)學(xué)界接受，足夠他拿到一次菲爾茲獎的。

這并非是菲爾茲獎的廉價，而是數(shù)學(xué)工具對于數(shù)學(xué)的重要性。

一項(xiàng)出色的數(shù)學(xué)工具，能解決的可不僅僅是一個問題。

就像一把斧頭一樣，它不僅僅能用以砍伐樹木，也可以用做木工的工具，加工物品，還可以用作武器，進(jìn)行廝殺。

同理，他構(gòu)設(shè)的代數(shù)簇與群映射工具，也不僅限于與霍奇猜想。

不少代數(shù)簇與微分形式以及多項(xiàng)式方程，甚至是代數(shù)拓?fù)浞较虻碾y題，它都可以用來進(jìn)行嘗試。

比如和霍奇猜想同屬于一類猜想家族的‘布洛赫猜想’、‘代數(shù)曲面的霍奇理論應(yīng)該確定零循環(huán)的chow群是否是有限維的’問題、還有有限系數(shù)的某些動機(jī)上同調(diào)群同構(gòu)映射到etale上同調(diào)問題猜等等。

這些猜想和問題相互支持，數(shù)學(xué)家不斷地在其中一個或另一個上取得進(jìn)展，試圖證明它們導(dǎo)致了數(shù)論、代數(shù)和代數(shù)幾何方面的巨大進(jìn)步。

代數(shù)簇與群映射工具能解決霍奇猜想，那么它在同類型的猜想上不說能完全適應(yīng)，但至少也能起到一部分作用。

因?yàn)榛羝娌孪氡揪褪茄芯看鷶?shù)拓?fù)浜投囗?xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。

它所研究的東西，并非是最先進(jìn)的數(shù)學(xué)知識，而是在代數(shù)幾何、分析和拓?fù)鋵W(xué)這三個學(xué)科之間建立起一種基本的聯(lián)系。

解決這個問題，需要的證明者對這三大領(lǐng)域的數(shù)學(xué)都有著極深的了解。

對于絕大部分的數(shù)學(xué)家來說，能在代數(shù)幾何、分析、拓?fù)鋵W(xué)這三大領(lǐng)域中的某一個領(lǐng)域有著深入研究就相當(dāng)不易了，更別提三大領(lǐng)域都精通了。

而對于徐川而言，分析和拓?fù)鋵W(xué)本就是他上輩子精通的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，唯有代數(shù)幾何并不在研究范疇內(nèi)。

但這輩子跟隨著德利涅深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有這樣的一位導(dǎo)師，他在代數(shù)幾何上的進(jìn)步超乎想象。

將霍奇猜想的證明論文全部整理完成并輸入電腦后，徐川將其轉(zhuǎn)成了pdf格式，然后通過郵箱發(fā)給了德利涅和威騰兩位導(dǎo)師。

想了想，他又將其上傳到了arxiv預(yù)印本網(wǎng)站上。

盡管如今的arxiv預(yù)印本網(wǎng)站已經(jīng)逐漸變成變成了計(jì)算機(jī)占坑的地方了，但上面仍然還是有大量的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的。

將自己未發(fā)表的論文丟上去，不僅可以提前占坑防止被抄襲，也可以提前擴(kuò)大論文的影響力。

對于霍奇猜想這類問題的證明論文來說，要想徹底完成驗(yàn)證，需要的時間無疑是相當(dāng)漫長的。

比如此前‘龐加來猜想’的三維情形被數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明，但直到2006年，數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加來猜想。

當(dāng)然，這也和佩雷爾曼幾乎拒絕了任何頒發(fā)給他的獎項(xiàng)，且深居隱出有關(guān)系。

畢竟一個猜想的證明者，如果不去推廣自己的證明方法和過程話，別人想要快速的了解這種方法幾乎是不可能的事情。

特別是在數(shù)學(xué)這一領(lǐng)域。

對于一篇證明論文來說，如果沒有原創(chuàng)者加以解釋，解答其他同行的困惑，其他數(shù)學(xué)家想要徹底弄懂這篇論文是一件很難的事情。

此外，針對千禧年數(shù)學(xué)難題這種重大猜想，數(shù)學(xué)界接受的過程一般也比較長。

畢竟它的正確與否干系無比重大。

就好比黎曼猜想，從1859年被數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼提出后，至今數(shù)學(xué)界的文獻(xiàn)中，已有超過數(shù)千條的數(shù)學(xué)命題，以黎曼猜想的成立為前提。

如果一旦黎曼猜想被證否，不說數(shù)學(xué)這座大廈崩塌，至少涉及到黎曼猜想的龐大領(lǐng)域，從數(shù)論、到函數(shù)、再到分析、到幾何可以說幾乎整個數(shù)學(xué)都將有著重大的改變。

而黎曼猜想一旦被證明，那么圍繞著它而建立的數(shù)千條數(shù)學(xué)命題或者猜想，都將榮升為定理。人類的數(shù)學(xué)史，將迎來一次無比蓬勃的發(fā)展。

事實(shí)上，一個問題或者猜想的證明的審稿速度，在很大程度上取決于這個問題或者猜想的熱度，以及數(shù)學(xué)界對這個問題或猜想的研究工作進(jìn)展到了一個怎樣的程度。

除此之外，還有證明這個問題或者猜想的使用的方法、理論以及工具。

比如他此前在證明弱weyl_berry猜想的時候，就僅僅只是在巴拿赫空間對稱結(jié)構(gòu)理論以及具分形邊界連通區(qū)域上的譜漸近這兩領(lǐng)域做了一些創(chuàng)新，利用分形鼓對相聯(lián)系的計(jì)數(shù)函數(shù)做了開口。

于是弱weyl_berry猜想的證明過程很快就被高爾斯教授所接受了。

而在證明weyl_berry猜想過程的時候，他在此前的方法上做了突破，通過狄利克雷域來對Ω的分形維數(shù)和分形測度的譜進(jìn)行限定，再輔以域的擴(kuò)張及將函數(shù)轉(zhuǎn)換成子群并與中間域和合集建立起來聯(lián)系。

數(shù)學(xué)界對于這一方法的接受就要慢很多了。

哪怕他的論文最終被六名頂級大老進(jìn)行審核，其中有四名是菲爾茲獎得主，再加上他全程都在現(xiàn)場解答疑惑，也依舊用了很長的時間才被確認(rèn)。

而時至今日，整個數(shù)學(xué)界能完全了解weyl_berry猜想的證明過程的人依舊不多。

哪怕他后面將這一方法推廣到了天文學(xué)界，提升了它的重要性。

至于現(xiàn)在他手中的霍奇猜想的證明過程，那就更不用說了。

天知道數(shù)學(xué)界要多長的時間才會完整的接受這篇論文。

一年？三年？五年？或者更長？

在這漫長的時間中，徐川并不愿意看到自己的論文被束之高閣。

他希望有更多的數(shù)學(xué)家甚至是物理學(xué)家參與進(jìn)來，將其擴(kuò)大和應(yīng)用，應(yīng)用到更多更廣的領(lǐng)域中去。